Nell'algebra matriciale iterativa, abbiamo bisogno di un quadro matematico rigoroso per misurare la "dimensione" di vettori e matrici. Queste metriche ci permettono di stabilire se un'approssimazione si sta avvicinando alla soluzione esatta. Le norme di vettori e matrici mappano array ad alta dimensione in numeri reali non negativi, mantenendo proprietà algebriche specifiche che limitano gli errori e garantiscono la convergenza.
La Fondazione Assiomatica delle Norme
Definizione 7.1: Norma di Vettore
Una norma di vettore $\|\cdot\|$ su $\mathbb{R}^n$ deve soddisfare quattro criteri:
- Non-negatività: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
- Definitività: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- Omogeneità Assoluta: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
- Disuguaglianza Triangolare: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$
Metriche Principali: $l_2$ e $l_\infty$
Secondo Definizione 7.2, le norme più critiche per l'analisi numerica sono:
- Norma Euclidea ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. Geometricamente, la distanza più breve dall'origine.
- Norma Massima ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Questa cattura il valore assoluto massimo tra i componenti.
Queste definizioni ci permettono di definire la distanza tra una soluzione esatta $\mathbf{x}$ e un'approssimazione $\mathbf{y}$ come $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (Definizione 7.4).
Norme di Matrici e Amplificazione Indotta
Una norma di matrice aggiunge una quinta proprietà "sottomoltiplicativa" (Definizione 7.8): $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.
Teorema 7.11: La Somma Massima per Riga
Per una matrice $n \times n$ $A$, la norma naturale $l_\infty$ è calcolata come il massimo delle somme dei valori assoluti delle righe:
$$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$
Esempio Risolto: Calcolo di Vettori e Matrici
Considera $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ e $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
Norme di Vettore
$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.
Norma $l_\infty$ della Matrice
Riga 1: $|1|+|2|+|-1|=4$Riga 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
Riga 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
Risultato: $\|A\|_\infty = 7$.
🎯 Principio Fondamentale
Mentre la specifica 'forma' dell'entità cambia tra le norme, Teorema 7.7 garantisce l'equivalenza: la convergenza nella norma $l_\infty$ implica la convergenza nella norma $l_2$ e viceversa.
$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$